le petit robot
L' astroïde a pour équation paramétrique :
Selon la théorie, l'équation de la polaire par rapport à O sera :
ce qui conduit sans difficultés aux relations x'2 + y'2 = 18 - 18cos 4t et xy' - yx' = 6 - 6cos 4t
D'où l'équation de la podaire et la courbe représentée ci-dessous en bleu par Graphmatica :
X = cos t - cos 3t , Y = sin t + sin 3t , t variant sur [0,2p] ou [-p,+p]
Mais le quadrifolium, direz-vous, est plutôt connu par son équation polaire de la forme :
x = a.sin2 t.cos t , y = a.cos2 t.sin t
Or :
-
cos3t = cos(2t + t) = cos 2t.cos t - sin 2t.sin t
-
sin 3t = sin 2t.cos t + sin t.cos 2t
-
1 - cos 2t = 2sin2t
-
1 + cos 2t = 2cos2t
-
sin 2t = 2sin t.cos t
Partant de notre podaire d'équation X = cos t - cos 3t , Y = sin t + sin 3t, nous avons :
-
X = cos t - cos 3t = cost(1 - cos 2t) + sin2t.sin t = 4sin2t.cos t
-
Y = sin t + sin 3t = sint(1 + cos 2t) + sin 2t.cos t = 4cos2t.sin t
C'est bien notre quadrifolium avec a = 4.
voilà !!!