And It Rained All Night
Quelques variantes de l'axiome du choix...
* (CCXXX) (Axiome du choix) Toute famille d'ensembles non vide admet une fonction de choix.
* (CCCXX) (Axiome du choix dénombrable) Toute suite d'ensembles non vide admet une fonction de choix.
* (CCDXX) (Axiome des choix dépendants) Si R est une relation sur un ensemble non vide telle que pour tout x il existe y vérifiant xRy alors il existe une suite (xn) telle que xn R xn+1 pour tout n.
* (UXX) (Théorème de l'ultrafiltre de Tarski) Tout filtre peut être étendu en un ultrafiltre.
* (UEX) Sur tout ensemble non vide il existe un ultrafiltre.
* (RCA1) (Régularité de aleph1) Toute suite à valeurs dans aleph1 est bornée.
* (RSR) R n'est pas une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
* (KNIDI) (Postulat de Dedekind) Tout ensemble infini a un sous-ensemble dénombrable.
* (CCXFX) Toute famille d'ensembles finis admet une fonction de choix.
* (CCX2X) Toute famille de paires admet une fonction de choix.
* (CCC2X) Toute suite de paires admet une fonction de choix.
* (CCC2SPR) Toute suite de paires d'ensembles de réels admet une fonction de choix.
* (OXT) Tout ensemble peut être totalement ordonné.
* (OXW) (Théorème du bon ordre) Tout ensemble peut être bien ordonné.
* (OPWW) L'ensemble des parties d'un ensemble bien ordonné peut être bien ordonné.
* (MNA) Tout ensemble infini est l'union de deux ensembles infinis disjoints.
* (KNITI) Si X est infini, il existe une chaîne dans P(X) sans élément maximal.
* (KTIDI) S'il existe une chaîne dans P(X) sans élément maximal alors X a un sous-ensemble dénombrable.
* (CRXXX) (Principe de sélection) Pour toute famille d'ensembles à au moins deux éléments, on peut choisir des sous-ensembles propres de chacun des membres.
* (KXSPW) Tout ensemble a le cardinal d'un sous-ensemble de l'ensemble des parties d'un certain ordinal.
* (KPNIDI) L'ensemble des parties d'un ensemble infini a un sous-ensemble dénombrable.
* (CCX4X) Toute famille d'ensembles a 4 éléments a une fonction de choix.
* (CCXWX) Toute famille d'ensembles bien-ordonnables a une fonction de choix.
* (MCOF) Tout ensemble totalement ordonné a un sous-ensemble bien-ordonné cofinal.
* (MVEL) (Axiome de constructibilité) Tout ensemble est constructible.
* (MODF) Tout ensemble est ordinal-définissable.
* (ODVW) Il existe un bon-ordre ordinal-définissable sur l'univers (cette affirmation ne peut pas s'écrire dans ZF).
* (OVW) Il existe un bon-ordre sur l'univers (cette affirmation ne peut pas s'écrire dans ZF).
* (MNAD) (Négation de l'axiome de détermination) Il existe un ensemble A de suites de naturels tel qu'aucun des deux joueurs ne possède une stratégie gagnante dans le jeu suivant : I et II jouent tour à tour un naturel, et I gagne ssi la suite formée appartient à A.
* (MNMCA1) aleph1 n'est pas un cardinal mesurable.
* (MNCUMCA1) Le filtre clos cofinal sur aleph1 n'est pas un ultrafiltre.
* (CCXXX) (Axiome du choix) Toute famille d'ensembles non vide admet une fonction de choix.
* (CCCXX) (Axiome du choix dénombrable) Toute suite d'ensembles non vide admet une fonction de choix.
* (CCDXX) (Axiome des choix dépendants) Si R est une relation sur un ensemble non vide telle que pour tout x il existe y vérifiant xRy alors il existe une suite (xn) telle que xn R xn+1 pour tout n.
* (UXX) (Théorème de l'ultrafiltre de Tarski) Tout filtre peut être étendu en un ultrafiltre.
* (UEX) Sur tout ensemble non vide il existe un ultrafiltre.
* (RCA1) (Régularité de aleph1) Toute suite à valeurs dans aleph1 est bornée.
* (RSR) R n'est pas une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
* (KNIDI) (Postulat de Dedekind) Tout ensemble infini a un sous-ensemble dénombrable.
* (CCXFX) Toute famille d'ensembles finis admet une fonction de choix.
* (CCX2X) Toute famille de paires admet une fonction de choix.
* (CCC2X) Toute suite de paires admet une fonction de choix.
* (CCC2SPR) Toute suite de paires d'ensembles de réels admet une fonction de choix.
* (OXT) Tout ensemble peut être totalement ordonné.
* (OXW) (Théorème du bon ordre) Tout ensemble peut être bien ordonné.
* (OPWW) L'ensemble des parties d'un ensemble bien ordonné peut être bien ordonné.
* (MNA) Tout ensemble infini est l'union de deux ensembles infinis disjoints.
* (KNITI) Si X est infini, il existe une chaîne dans P(X) sans élément maximal.
* (KTIDI) S'il existe une chaîne dans P(X) sans élément maximal alors X a un sous-ensemble dénombrable.
* (CRXXX) (Principe de sélection) Pour toute famille d'ensembles à au moins deux éléments, on peut choisir des sous-ensembles propres de chacun des membres.
* (KXSPW) Tout ensemble a le cardinal d'un sous-ensemble de l'ensemble des parties d'un certain ordinal.
* (KPNIDI) L'ensemble des parties d'un ensemble infini a un sous-ensemble dénombrable.
* (CCX4X) Toute famille d'ensembles a 4 éléments a une fonction de choix.
* (CCXWX) Toute famille d'ensembles bien-ordonnables a une fonction de choix.
* (MCOF) Tout ensemble totalement ordonné a un sous-ensemble bien-ordonné cofinal.
* (MVEL) (Axiome de constructibilité) Tout ensemble est constructible.
* (MODF) Tout ensemble est ordinal-définissable.
* (ODVW) Il existe un bon-ordre ordinal-définissable sur l'univers (cette affirmation ne peut pas s'écrire dans ZF).
* (OVW) Il existe un bon-ordre sur l'univers (cette affirmation ne peut pas s'écrire dans ZF).
* (MNAD) (Négation de l'axiome de détermination) Il existe un ensemble A de suites de naturels tel qu'aucun des deux joueurs ne possède une stratégie gagnante dans le jeu suivant : I et II jouent tour à tour un naturel, et I gagne ssi la suite formée appartient à A.
* (MNMCA1) aleph1 n'est pas un cardinal mesurable.
* (MNCUMCA1) Le filtre clos cofinal sur aleph1 n'est pas un ultrafiltre.
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